Sinu (matemàtica)

Artìculu in LSC

Dadu unu triàngulu rettàngolu, su sinu de un'àngulu agudu est definidu comente a su raportu intre sas longàrias de su catetu opostu a s'àngulu e de s'ipotenusa

In matemàtica, in piessigna in trigonometria, dadu unu triàngulu retàngulu su sinu (dae su latinu sinus-i, bortadura de su arabu jaib, trasliteratzione de su sanscritu jiva) de unu de sos duos àngulos internos bighinos a s'ipotenusa est definidu comente a su raportu intre sas longàrias de su catetu opostu a s'àngulu e de s'ipotenusa.

Prus in generale su sinu de un'àngulu $\alpha$, espressadu in grados o radiantes, est una cantidade chi dipendet petzi dae $\alpha$, fata impreende sa circonferèntzia unitària. ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$Defininde comente a $\sin(x)$su sinu in s'àngulu $x$ s'otenet sa funtzione sinu, una funtzione trigonomètrica de fundamentale importu in s'anàlisi matemàtica.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Definitzione

In su triàngulu ruju in figura, su sinu de

${\displaystyle }$${\displaystyle }$$\sin(x)={\overline {DC}}$

Prus in generale si definit su sinu de un'àngulu $x$partinde dae sa circonferèntzia goniomètrica, overas dae sa circonferentzia de raju unitàriu in su pranu cartesianu. Pigada sa semireta essinte dae s'orìgine chi format un'àngulu $x$cun s'assas de sas ascisse comente a in figura, su sinu de s'àngulu est tando definidu comente a su balore de sa coordinada $y$de su puntu de intersetzione tra sa semiretta e sa circonferenza (in figura, est sa longària de su tretu $CD$).${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$Su domìniu de sa funtzione sinu est s'ammenta de sos nùmeros reales, mentras su codomìniu est su discansu reale $[-1;+1]$, est a nàrrere aplichende tale funtzione a cale si siat nùmeru reale, s'otenet semper unu nùmeru reale incluidu intre $-1$e $+1$, estremos inclùdidos.

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Sa tabella sighente elencat sos printzipales balores notèvoles assuntos dae sa funtzione sinu:

$x$ in radiantes	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$
$x$ in grados	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\sin(x)$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	$0$	$-1$	$0$

${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$In sos testos de matemàtica su sinu de $x$ est a parusu indicadu cun sa notatzione $\sin(x)$ o $\operatorname {sen}(x)$, ue $\sin$est un' abbreviatzione de su latinu sinus impreada fintzas in sos paisos de limba inglesa.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$Esistet una àtera definitzione de sinu chi si collega a sas rotatziones: su sinu de un'àngulu $x$ est su cumponente longu s'assas de sas ordinadas de su versore $i$, versore de s'assas de sas ascisse, giradu de $x$.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Funtzione sinu

Sa funtzione sinu est definida assotziende ad $x$su sinu de s'àngulu $x$ in radianties, e nd'est indicada comente $\sin(x)$. Sigomente $x$ e $x+2\pi$ definint su matessi àngulu, sa funtzione sinu est una funtzione periòdica de perìodu $2\pi$, ue $2\pi$ è l'àngulu ziru. ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Rapresentatzione gràfica de sa funtzione sinu

Disinnu y = sin(x) impreende su chircu trigonometrico unitàriu.

Sinu e cosinu

Intre sinu e cosinu esistit sa relatzione fundamentale: ${\displaystyle }$$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,$

chi est cunsighèntzia de su teorema de Pitàgora. Defatis in su triàngulu $OCD$de sa figura a subra, su cosinu de $x$est definidu comente ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$$\cos(x)={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}.$

Dae s'àtera banda, su terema de Pitàgora aplicadu a su triàngulu $OCD$furnit sa relatzione ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {OD}}^{2},$

e tando ${\displaystyle }$$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=\left({\frac {\overline {DC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}+\left({\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}={\frac {{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}={\frac {{\overline {OD}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}=1.$

Balet fintzas sa relatzione:

$\sin(x)=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right).$${\displaystyle }$Comente pro su cosinu, sa cosecante de un'àngulu est $1$divididu pro su sinu de s'àngulu ${\displaystyle }$

Propiedades analìticas de sa funtzione sinu

Sa funtzione sinu (biaitu) e sa sua aprossimatzione dada dae su polinòmiu de Taylor de 7º gradu (bascu).

Sa derivada de sa funtzione sinu est sa funtzione cosinu:${\displaystyle }$$\sin 'x=\cos x.$

Sa derivada segunda est imbetzes${\displaystyle }$$\sin ''x=-\sin x.$

Sa funtzione sinu est una funtzione analìtica, sa cale "isparghidura" in sèrie de Taylor est${\displaystyle }$$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

In anàlisi matemàtica custa agualidade est s'ispissu impreada pro definire su sinu. Sa matessi sèrias definit su sinu comente a funtzione olomorfa subra totu su pranu complessu.

Ecuatziones fundamentales relativas a su sinu

Sighint unas cantas ecuatziones fundamentale chi riguardat sa funtzione sinu:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,$

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,$

cun s'annanta de sa cunditzione chi:${\displaystyle }$$0<x\cos x<\sin x<x{\text{ per }}0<x<1.$

Esistet fintzas un' identidade trigonometrica chi ponet in relatzione sa funtzione sinu a sa funtzione tangente:

$\sin(x)={\frac {2\tau }{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ con }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}.$

${\displaystyle }$

Custa identidade si rivelat de fundamentale importu in sa risolutzione de ecuatziones goniomètricas in sas cales s'incògnita figuret comente a argumentu siat de unu sinu siat de unu cosinu o de funtziones derivadas de custas. Esistet difatis un'anàloga identidade pro cantu riguardat su coseno e s'impreu parente de custas duas identidades permitet sa risolutzione de s'ecuatzione in s'incògnita $\tau$.${\displaystyle }$

Definitziones curreladas

Su pari-pari de su sinu, definidu ue su sinu est diferente de zero, est sa cosecante:

$\csc x={\frac {1}{\sin x}}$

${\displaystyle }$

Sa funtzione sinu, restrinta a su discansu $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$, est inietiva e tando tenet un'inversa, mutida arcoseno e indicada cun $\arcsin$ o cun $\sin ^{-1}$ chi pigat dae sa notatzione de sa funtzione inversa. Pro definitzione si tenet tando:${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

$x=\arcsin y\Longleftrightarrow y=\sin x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -1\leq y\leq 1.$${\displaystyle }$

Unas àteras propiedades

De sa fòrmula de Eulero si deduce chi sa funtzione sinu est in relatzione cun sa funtzione esponentziale e cun sa funtzione sinu iperbòlicu. Difatis pro ogni nùmeru reale $x$ si tenet${\displaystyle }$${\displaystyle }$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}={\frac {\sinh(ix)}{i}}$${\displaystyle }$

Carchi fòrmulas piessignas chi riguardant sa funtzione sinu interessant s'operatzione de produtu.

Pro esempru resurtat pro ogni intreu $n\geq 2$

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$

In anàlisi cumplessa, aplichende su teorema de fatorizatzione de Weierstrass a sa funtzione sinu, faghet a la espressare comente a prodùidu infinitu, mediante sa sighente fòrmula chi balet pro ogni nùmeru complessu $z$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

Sa funtzione sinu est fintzas in relatzione cun carchi funtzione ispetziale, comente si podet bìdere, pro esempru, dae sa fòrmula de riflessione de sa funtzione Gama${\displaystyle }$$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)}$

e de s'ecuatzione funtzionale satisfata dae sa funtzione zeta de Riemann

$\zeta (z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z)\zeta (1-z)$

${\displaystyle }$

Istòria e orìgine de su nùmene

Su cuntzetu de sinu est istadu introduidu dae su matemàticu e astrònomu indianu Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) in s'òpera sua Aryabhatiya (499).

Su sinu est pro definitzione sa metade de una corda, est a nàrrere unu tretu chi unit duos puntos (narados estremos) de una circonferenza. In sànscritu, "metade corda" est torradu cun jya-ardha, a bias sostituidu cun ardha-jya e abbreviadu in jya "corda". Custu tèrmine est istadu importadu in sa limba àraba comente a jiba, unu tèrmine sena significadu in antis de tando, ma chi rifletiat sa pronùntzia de su nùmene jya. Segundu sas règulas de sa limba àraba, custu nùmene est bènnidu iscritu cun sas duas cunsonantes jb, sena vocales. Posca, cando sos tradutores otzidentales ant oridu a sas fontes àrabas, ant interpretadu sa paràula jb comente a jaib, su cale significadu fiat "baja".

Boghes curreladas

• Funtzione trigonomètrica
• Sinusòide
• Cosinu
• Tangente (matemàtica)
• Arcosinu
• Circonferentzia goniomètrica
• Fòrmula de Eulero
• Fòrmulas de duplicatzione
• Fòrmulas de bisetzione
• Fòrmulas de prostafèresi
• Fòrmulas de Werner
• Teorema de sos sinos
• Funtzione periòdica
• Funtzione alternada
• Sinu iperbòlicu

Ligamenes esternos

• Sine -- from Wolfram MathWorld