Teorema de Parseval

In matemàtica, su Teorema de Parseval est s'espressione de s'unitariedade de sa trasformada de Fourier; in pacas pàraulas, sa summa (o s'integrale) de su quadradu de una fùntzione est iguale a sa summa (o s'integrale) de su quadradu de sa sua trasformada. Custu teorema tenet origine dae unu teorema de Marc-Antoine Parseval de su 1799, chi chistionat de sas series, chi est istettiu àplicau a sas series de Fourier. Est connottu puru comente su teorema de s'energia de Rayleigh, o puru comente s'identidade de Rayleigh.

Puru si su "Teorema de Parseval" est utilitzau meda pro descriere s'unidariedade de cada transformada de Fourier, particularmente in fisica, sa forma prus generale de custa propriedade est anumenada "Teorema de Plancherel"

Tèsi de su Teorema de Parseval

Siene $A(x),\ B(x)$ duas fùnziones in s'ispatziu $L^{2}(\mathbb {R} )$, in uve $A,\ B:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C}$ sunu ambas duas $2\pi$-pèriodicas, cun Serie de Fourier

$A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$

E

$B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}$

TandoTemplate:Equation box 1$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\mathrm {d} x$

In uve $i$ est s'unidade imàginaria e sas líneas oritzontales indicana sa conjugazione complessa.

Prus generalmente, siet $G$ unu gruppu abelianu cun duale de Pontryagin $G^{\wedge }$, Su teorema de Parseval narada chi sa transformada de Pontryagin-Fourier est unu operadore unitariu entre sos ispàtzios de Hilber $L^{2}(G){\text{ e }}L^{2}(G^{\wedge })$ (cun integratzione cun sa mesura de Haar bene iscalada, in sos duos gruppos). Cando $G$est su cerchiu unitariu $\mathbf {T}$, $G^{\wedge }$est su gruppu de sos nùmeros interos, e custu este su casu mentzionau antes. Cando $G$ est sa línea de sos numeros reales $\mathbb {R}$, su duale de Pontryagin est sempere $G$ e sa trasformada est sa trasformada de Fourier. cando $G$ est su gruppu ciclicu $\mathbb {Z} _{n}$, su duale est sempere issu su matessi e sa trasformada est sa trasformada discreta de Fourier (TDF).

Su teorema de Parseval podet puru èssere indicadu gasi:

Siet $f(x)$ una fùntzione cun quadradu integrabile in s'insieme cunzau $[-\pi ,\pi ]$ cun sèrie de Fourier

$f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).$

Tando

${\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).$

Notatzione utilitzada in Fisica

In fisica e ingegneria, su teorema de Parseval est iscritu puru gasi

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f$

In uve $X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}$ representa sa transformada de Fourier continua (normalitzada, unitaria) de $x(t)$, e $\omega =2\pi f$ est sa frequentzia in radiantes pro segundos.

S'interpretatzione de custa forma de su teorema est chi s'energia totale de unu signale podet èssere calculada summande sa pòtenzia-pro-cantu pro su tempus o sa pòtenzia ispettrale pro sa frequentzia

Pro signales discretos in su tempus, su teorema est

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi$

In uve $X_{2\pi }$ est sa transformada tempus-discreta de Fourier (TTDF) de $x$, e $\phi$ representa sa frequentzia angulare (in radiantes pro cantu) de $x$.

Pro sa trasformada de Fourier discreta (TFD), sa relatzione est

$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}$

In uve $X[k]$ est sa TFD de $x[n]$, ambos de longària $N$.